Đề bài:

Có 40 kỳ thủ thi đấu cờ vua theo thể thức vòng tròn một lượt. Mỗi kỳ thủ đều thi đấu với những kỳ thủ còn lại đúng một lần. Mỗi ván thắng được 1 điểm, ván hòa được 0,5 điểm và ván thua 0 điểm.

Hỏi có tối đa bao nhiêu kỳ thủ tham gia có thể đạt từ 24 điểm trở lên?

Đáp án:

Cách 1: Đáp án là 31 người.
Lời giải:
– Tổng số điểm của tất cả các ván đấu là 40*39/2 = 780. Số kì thủ đạt trên 24 điểm, “tối đa” có thể là 780/24 = 32 người ( nếu 33 người thì tổng điểm sẽ trên 792 điểm).
– Tuy nhiên, có khả năng 32 người trên 24 điểm hay không? Câu trả lời là không. Thế này, 32 người này đấu với nhau thì tổng điểm là 32*31/2 = 496 điểm, nên người tệ nhất trong số này chỉ có thể được tối đa là 496/32 = 15.5 điểm. Cho dù người này có thắng 8 người còn lại để đoạt 8 điểm, thì người này cũng chỉ có thể thu về 23.5 điểm.
– Vì thế tối đa chỉ có thể là 31 người đạt từ 24 điểm trở nên.
– Ta có thể dễ dàng thiết lập 1 tình huống là 31 người này đấu huề nhau (họ sẽ kiếm được 15 điểm) và thắng 9 người còn lại ( kiếm được 9 điểm), tổng cộng 31 người này đoạt được 15+9=24 điểm

Cách 2: Đáp án là 31 người.

Gọi n là số người tối đa đạt được 24 điểm, để n là tối đa thì:
– Những người đạt hơn 24 điểm phải chơi tổng cộng 39 trận với những người đạt hơn 24 điểm như mình và những người khác.
– Những người đạt hơn 24 điểm sẽ thu được trung bình 0.5 điểm với mỗi lần thi đấu với nhau. Có 0.5*(n -1) điểm như vậy.
– Những người đạt hơn 24 điểm phải thắng những người còn lại. Có (40 – n) điểm như vậy.

Như vậy ta có: 0.5*(n – 1)+ 40 – n >= 24 ==> n <= 31
n = 31 khi:
– Có 31 người thi đấu hòa nhau từng đôi một: Mỗi người được (31 – 1)*0.5 = 15 điểm
– 31 người đó thắng hết 9 trận còn lại: Mỗi người được 9 điểm
– Tổng số điểm là 24 điểm